Logo Webboard ของ pop--atstar
ติดต่อโฆษณา  |  สมัครใช้งานสุดยอดแห่ง Free Webboard ได้แล้ววันนี้ คลิ๊ก !!  | แจ้งบอร์ดไม่เหมาะสม


  °º¤ø,¸¸,ø¤º°`°º¤ø,¸ ข่าวสารนานา°º¤ø,¸¸,ø¤º°`°º¤ø,¸

  

  Topic : ตรีโกณมิติ

Delete
Admin ลบกระทู้
   Page [1] 2 3 4   Next >>
  สมาชิกพิเศษ
pop--atstar
คลิ๊กเพื่อดูภาพขนาดจริง
  
hhtth@thaimail.com 203.113.77.7

  โพสต์เมื่อ : 24 ก.ค. 2550 20:58 น.

ตรีโกณมิติ

เป็นแขนงหนึ่งของคณิตศาสตร์ ว่าด้วย การวัดรูปสามเหลี่ยมต่าง ๆ โดยหาความสัมพันธ์ระหว่างด้าน มุม และพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม มีความสำคัญต่อวิชาดาราศาสตร์ การเดินเรือ และงานสำรวจใช้ในการคำนวณส่งสูงของภูเขา และหาความกว้างของแม่น้ำ มีประโยชน์มากสำหรับวิชาวิทยาศาสตร์ วิศวกรรมศาสตร์ และการศึกษาเกี่ยวกับวัตถุ ซึ่งมีสภาพเป็นคลื่น เช่น แสง เสียง แม่เหล็กไฟฟ้าและวิทยุ ส่วนที่กล่าวถึงรูปสามเหลี่ยมบนพื้นราบเรียกว่า ตรีโกณมิติระนาบ ส่วนที่กล่าวถึงรูปสามเหลี่ยมบนพื้นผิวทรงกลมเรียกว่า ตรีโกณมิติทรงกลม

ประวัติของตรีโกณมิติ

       นักคณิตศาสตร์มุสลิมในยุคกลาง (หรือยุคมืด ตามคำเรียกของชาวยุโรป) มีส่วนเป็นอย่างมากในการพัฒนาและอุทิศผลงานในคณิตศาสตร์สาขาตรีโกณมิติ โดยพวกเขาได้รับแนวคิดพื้นฐานมาจาก

  • ตำราคณิตศาสตร์อินเดียที่ชื่อ Sūrya Siddhānta (สุริยสิทธานตะ)
  • ตำราอัลมาเกส (เป็นภาษาอาหรับแปลว่ายิ่งใหญ่ที่สุด แสดงให้เห็นว่านักคณิตศาสตร์อาหรับยกย่องหนังสือเล่มนี้มาก) ของทอเลมีนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงชาวกรีก ; และ
  • ตำราสเฟียริก ของเมเนลาอุสนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกเช่นกัน

อย่างไรก็ตาม ถึงแม้ว่านักคณิตศาสตร์กรีกและอินเดียจะมีบทบาทในการพัฒนาตรีโกณมิติ แต่ทว่านักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์หลายท่าน ได้ให้เกียรตินักคณิตศาสตร์อาหรับว่า เป็นผู้พัฒนาความรู้ในสาขานี้อย่างแท้จริง

สำหรับ ประเทศไทยนั้น ก็มีศาสตร์ตรีโกณมิติเข้ามาตั้งแต่สมัยสุโขทัย ผ่านทางคัมภีร์ สุริยยาตร์ สำหรับคำนวณหาตำแหน่งพระอาทิตย์และพระจันทร์ และปรากฏการณ์ข้างขึ้นข้างแรม (เพียร) โดยปรากฏตาราง SINE ทุกๆ มุม 15 องศา เรียกว่า ตารางฉายา ส่วน COSINE จะใช้หลักการเทียบจากตารางฉายา เรียกว่า โกฏิฉายา

 

       ปัจจุบัน มีการนำตรีโกณมิติไปใช้ในงานสาขาต่าง ๆ เช่น เป็นเทคนิคในการสร้างรูปสามเหลี่ยม ซึ่งใช้ในวิชาดาราศาสตร์เพื่อวัดระยะทางของดาวที่อยู่ใกล้ ในภูมิศาสตร์ใช้วัดระยะทางระหว่างหลักเขตที่ดิน และใช้ในดาวเทียมนำทาง งานที่มีการใช้ประโยชน์จากตรีโกณมิติ ได้แก่ ดาราศาสตร์ (และการนำทางในมหาสมุทร บนเครื่องบิน และในอวกาศ) ,ทฤษฎีดนตรี, สวนศาสตร์, ทัศนศาสตร์, การวิเคราะห์ตลาดการเงิน, อิเล็กทรอนิกส์, ทฤษฎีความน่าจะเป็น, สถิติศาสตร์, ชีววิทยา, การสร้างภาพทางการแพทย์ (การกราดภาพตัดขวางใช้คอมพิวเตอร์ช่วย (CAT scans) และ คลื่นเสียงความถี่สูง) , เภสัชศาสตร์, เคมี, ทฤษฎีจำนวน (รวมถึง วิทยาการเข้ารหัสลับ) , วิทยาแผ่นดินไหว, อุตุนิยมวิทยา, สมุทรศาสตร์, วิทยาศาสตร์กายภาพสาขาต่างๆ, การสำรวจพื้นดิน และภูมิมาตรศาสตร์, สถาปัตยกรรม, สัทศาสตร์, เศรษฐศาสตร์, วิศวกรรมไฟฟ้า, วิศวกรรมเครื่องกล, วิศวกรรมโยธา, เรขภาพคอมพิวเตอร์, การทำแผนที่, ผลิกศาสตร์

       รูปสามเหลี่ยมสองรูปจะเรียกว่าคล้ายกัน ถ้ารูปหนึ่งสามารถขยายได้เป็นอีกรูปหนึ่ง และจะเป็นกรณีนี้ก็ต่อเมื่อมุมที่สมนัยกันมีขนาดเท่ากัน ตัวอย่างเช่น รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีมุมร่วมกันมุมหนึ่ง และด้านที่ตรงข้ามกับมุมนั้นขนานกัน เป็นข้อเท็จจริงว่ารูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน ด้านแต่ละด้านจะเป็นสัดส่วนกัน นั่นคือ ถ้าด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมหนึ่ง ยาวเป็นสองเท่าของด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน จะกล่าวได้ว่า ด้านที่สั้นที่สุดจะยาวเป็นสองเท่าของด้านที่สั้นที่สุดของอีกรูปสามเหลี่ยม และด้านที่ยาวปานกลางก็จะเป็นสองเท่าของอีกรูปสามเหลี่ยมเช่นกัน อัตราส่วนระหว่างด้านที่ยาวที่สุดและด้านที่สั้นที่สุดของรูปสามเหลี่ยมแรก จะเท่ากับ อัตราส่วนระหว่างด้านที่ยาวที่สุดและด้านที่สั้นที่สุดของรูปสามเหลี่ยมอีกรูปด้วย

รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

จากข้อเท็จจริงเหล่านี้ เราจะนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติ เริ่มต้นด้วยรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีมุมฉากหนึ่งมุม (90 องศา หรือ π/2 เรเดียน) ด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยมใดๆจะอยู่ตรงข้ามกับมุมที่ใหญ่ที่สุด แต่เพราะว่าผลรวมของมุมภายในรูปสามเหลี่ยมเท่ากับ 180 องศา หรือ π เรเดียน ดังนั้นมุมที่ใหญ่ที่สุดในรูปสามเหลี่ยมนี้คือมุมฉาก ด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยมจึงเป็นด้านที่ตรงข้ามกับมุมฉาก เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก

นำรูปสามเหลี่ยมมุมฉากมาสองรูปที่มีมุม A ร่วมกัน รูปสามเหลี่ยมทั้งสองนี้จะคล้ายกัน และอัตราส่วนของด้านตรงข้ามมุม A ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก จะเท่ากันทั้งสองรูป มันจะเป็นจำนวนระหว่าง 0 ถึง 1 ขึ้นอยู่กับขนาดของมุม A เท่านั้น เราเรียกว่า ไซน์ของ A และเขียนด้วย sin (A) ในทำนองเดียวกัน เรานิยาม โคไซน์ของ A คืออัตราส่วนระหว่าง ด้านประชิดมุม A ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

 \sin A = {\mbox{opp} (a) \over \mbox{hyp} (c) }
 \qquad \cos A = {\mbox{adj} (b) \over \mbox{hyp} (c) }

ฟังก์ชันเหล่านี้เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติที่สำคัญ ฟังก์ชันอื่นๆสามารถนิยามโดยใช้อัตราส่วนของด้านต่างๆของรูปสามเหลี่ยม แต่มันก็สามาถเขียนได้ในรูปของ ไซน์ และ โคไซน์ ฟังก์ชันเหล่านี้คือ แทนเจนต์, ซีแคนต์, โคแทนเจนต์, และ โคซีแคนต์

 \tan A = {\sin A \over \cos A} = {\mbox{opp} (a) \over \mbox{adj} (b) } 
 \qquad \sec A = {1 \over \cos A}      = {\mbox{hyp} (c) \over \mbox{adj} (b) }
 \cot A = {\cos A \over \sin A} = {\mbox{adj} (b) \over \mbox{opp} (a) }
 \qquad \csc A = {1 \over \sin A}      = {\mbox{hyp} (c) \over \mbox{opp} (a) }

วิธีจำ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ อย่างง่ายๆคือจำว่า ข้ามฉาก ชิดฉาก ข้ามชิด (ไซน์-ด้านตรงข้าม-ด้านตรงข้ามมุมฉาก โคไซน์-ด้านประชิด-ด้านตรงข้ามมุมฉาก แทนเจนต์-ด้านตรงข้าม-ด้านประชิด)

ที่ผ่านมา ฟังก์ชันตรีโกณมิติถูกนิยามขึ้นสำหรับมุมระหว่าง 0 ถึง 90 องศา (0 ถึง π/2 เรเดียน) เท่านั้น หากใช้วงกลมหนึ่งหน่วย จะขยายได้เป็นจำนวนบวกและจำนวนลบทั้งหมด (ดูใน ฟังก์ชันตรีโกณมิติ)

ครั้งหนึ่ง ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ถูกจัดลงในตาราง (หรือคำนวณด้วยเครื่องคิดเลข) ทำให้ตอบคำถามทั้งหมดเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมใดๆได้อย่างแท้จริง โดยใช้กฎไซน์ และ กฎโคไซน์

กฎเหล่านี้สามาถใช้ในการคำนวณมุมที่เหลือและด้านของรูปสามเหลี่ยมได้ เมื่อรู้ความยาวด้านสองด้านและขนาดของมุมหนึ่งมุม หรือรู้ขนาดของมุมสองมุมและความยาวของด้านหนึ่งด้าน หรือ รู้ความยาวของด้านทั้งสามด้าน

นักคณิตศาสตร์บางคนเชื่อว่าตรีโกณมิติแต่เดิมนั้น ถูกประดิษฐ์ชึ้นเพื่อใช้คำนวณนาฬิกาแดด ซึ่งมักเป็นโจทย์ในหนังสือเก่าๆ มันมีความสำคัญมากในเรื่องการสำรวจ

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ
                   
คือการเท่ากันของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ต่างกัน และเป็นจริงสำหรับทุก ๆ ค่าของขนาดของมุม

เมื่อกำหนด A เป็นขนาดของมุมใดๆ (0\le A\le 2\pi) จะได้

\sin A\cdot\cos A = 1
\cos A \cdot \sec A = 1
\tan A \cdot \cot A = 1
\cos A \cdot \tan A = \sin A
\sin A \cdot \cot A = \cos A
\sin^2 A + \cos^2 A = 1\,
\sec^2 A - \tan^2 A = 1\,
\csc^2 A - \cot^2 A = 1\,


เมื่อกำหนด A และ B เป็นขนาดของมุมใดๆ (0\le A\le 2\pi) จะได้

\sin \left(x+y\right)=\sin x \cos y + \cos x \sin y
\sin \left(x-y\right)=\sin x \cos y - \cos x \sin y
\cos \left(x+y\right)=\cos x \cos y - \sin x \sin y
\cos \left(x-y\right)=\cos x \cos y + \sin x \sin y
\sin x+\sin y=2\sin \left( \frac{x+y}{2} \right) \cos \left( \frac{x-y}{2} \right)
\sin x-\sin y=2\cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \sin \left( \frac{x-y}{2} \right)
\cos x+\cos y=2\cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \cos \left( \frac{x-y}{2} \right)
\cos x-\cos y=-2\sin \left( \frac{x+y}{2} \right)\sin \left( \frac{x-y}{2} \right)
\tan x+\tan y=\frac{\sin \left( x+y\right) }{\cos x\cos y}
\tan x-\tan y=\frac{\sin \left( x-y\right) }{\cos x\cos y}
\cot x+\cot y=\frac{\sin \left( x+y\right) }{\sin x\sin y}
\cot x-\cot y=\frac{-\sin \left( x-y\right) }{\sin x\sin y}

 



   Admin ลบความคิดเห็นนี้ 
 


  24 ก.ค. 2550 21:24 น. Admin ลบความคิดเห็นนี้ 
  สมาชิกพิเศษ
pop--atstar
คลิ๊กเพื่อดูภาพขนาดจริง
  
hhtth@thaimail.com 203.113.77.7

  

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (อังกฤษ: Trigonometric function) คือ ฟังก์ชันของมุม ซึ่งมีความสำคัญในการศึกษารูปสามเหลี่ยมและปรากฏการณ์ในลักษณะเป็นคาบ ฟังก์ชันอาจนิยามด้วยอัตราส่วนของด้าน 2 ด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หรืออัตราส่วนของพิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วย หรือนิยามในรูปทั่วไปเช่น อนุกรมอนันต์ หรือสมการเชิงอนุพันธ์ รูปสามเหลี่ยมที่นำมาใช้จะอยู่ในระนาบแบบยุคลิด ดังนั้น ผลรวมของมุมทุกมุมจึงเท่ากับ 180° เสมอ

ในปัจจุบัน มีฟังก์ชันตรีโกณมิติอยู่ 6 ฟังก์ชันที่นิยมใช้กันดังตารางข้างล่าง (สี่ฟังก์ชันสุดท้ายนิยามด้วยความสัมพันธ์กับฟังก์ชันอื่น แต่ก็สามารถนิยามด้วยเรขาคณิตได้)

ฟังก์ชัน ตัวย่อ ความสัมพันธ์
ไซน์ (Sine) sin \sin \theta = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \,
โคไซน์ (Cosine) cos \cos \theta = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)\,
แทนเจนต์ (Tangent) tan \tan \theta = \frac{1}{\cot \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \cot \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)  \,
โคแทนเจนต์ (Cotangent) cot \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \tan \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \,
ซีแคนต์ (Secant) sec \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \csc \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \,
โคซีแคนต์ (Cosecant) csc
(หรือ cosec)
\csc \theta =\frac{1}{\sin \theta} = \sec \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \,

 

นิยามจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
   ในการนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับมุม A เราจะกำหนดให้มุมใดมุมหนึ่งในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นมุม A

เรียกชื่อด้านแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมตามนี้

  • ด้านตรงข้ามมุมฉาก (hypotenuse) คือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉาก หรือเป็นด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ในที่นี้คือ h
  • ด้านตรงข้าม (opposite side) คือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมที่เราสนใจ ในที่นี้คือ a
  • ด้านประชิด (adjacent side) คือด้านที่อยู่ติดกับมุมที่เราสนใจและมุมฉาก ในที่นี้คือ b

จะได้

1). ไซน์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้าม ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ในที่นี้คือ

sin(A) = ข้าม/ฉาก = a/h

2). โคไซน์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านประชิด ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ในที่นี้คือ

cos(A) = ชิด/ฉาก = b/h

3). แทนเจนต์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้าม ต่อความยาวด้านประชิด ในที่นี้คือ

tan(A) = ข้าม/ชิด = a/b

4). โคซีแคนต์ csc(A) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ sin(A) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อความยาวด้านตรงข้าม

csc(A) = ฉาก/ข้าม = h/a

5). ซีแคนต์ sec(A) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ cos(A) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อความยาวด้านประชิด

sec(A) = ฉาก/ชิด = h/b

6). โคแทนเจนต์ cot(A) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ tan(A) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านประชิด ต่อความยาวด้านตรงข้าม

cot(A) = ชิด/ข้าม = b/a

รูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะมีมุมหนึ่งมีขนาด 90° (π/2 เรเดียน) ในที่นี้คือ C ส่วนมุม A กับ B นั้นเปลี่ยนแปลงได้ ฟังก์ชันตรีโกณมิติกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างความยาวด้านและมุมภายในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

รูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะมีมุมหนึ่งมีขนาด 90° (π/2 เรเดียน) ในที่นี้คือ C ส่วนมุม A กับ B นั้นเปลี่ยนแปลงได้ ฟังก์ชันตรีโกณมิติกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างความยาวด้านและมุมภายในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
 
วิธีจำ

วิธีจำอย่างง่าย ๆ คือจำว่า ข้ามฉาก ชิดฉาก ข้ามชิด ซึ่งหมายความว่า

  • ข้ามฉาก ... sin = ด้านตรงข้าม/ด้านตรงข้ามมุมฉาก
  • ชิดฉาก ... cos = ด้านประชิด/ด้านตรงข้ามมุมฉาก
  • ข้ามชิด ... tan = ด้านตรงข้าม/ด้านประชิด


 

 


  24 ก.ค. 2550 21:36 น. Admin ลบความคิดเห็นนี้ 
  สมาชิกพิเศษ
pop--atstar
คลิ๊กเพื่อดูภาพขนาดจริง
  
hhtth@thaimail.com 203.113.77.7

  

นิยามด้วยวงกลมหนึ่งหน่วย
            ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้ง 6 ฟังก์ชัน สามารถนิยามด้วยวงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งเป็นวงกลมที่มีรัศมียาว 1 หน่วย และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด วงกลมหนึ่งหน่วยช่วยในการคำนวณ และหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับอาร์กิวเมนต์ที่เป็นบวกและลบได้ ไม่ใช่แค่ 0 ถึง π/2 เรเดียนเท่านั้น สมการของวงกลมหนึ่งหน่วยคือ:

x^2 + y^2 = 1 \,

จากรูป เราจะวัดมุมในหน่วยเรเดียน โดยให้มุมเป็นบวกในทิศทวนเข็มนาฬิกา และมุมเป็นลบในทิศตามเข็มนาฬิกา ลากเส้นให้ทำมุม θ กับแกน x ด้านบวก และตัดกับวงกลมหนึ่งหน่วย จะได้ว่าพิกัด x และ y ของจุดตัดนี้จะเท่ากับ cos θ และ sin θ ตามลำดับ เหตุผลเพราะว่ารูปสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นนั้น จะมีความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ยาวเท่ากับรัศมีวงกลม นั่นคือยาวเท่ากับ 1 หน่วย เราจะได้ sin θ = y/1 และ cos θ = x/1 วงกลมหนึ่งหน่วยช่วยให้เราหากรณีที่สามเหลี่ยมมีความสูงเป็นอนันต์ (เช่น มุม π/2 เรเดียน) โดยการเปลี่ยนความยาวของด้านประกอบมุมฉาก แต่ด้านตรงข้ามมุมฉากยังยาวเท่ากับ 1 หน่วย เท่าเดิม

ฟังก์ชัน f(x) = sin(x) และ f(x) = cos(x) ที่วาดบนระนาบคาร์ทีเซียน
ฟังก์ชัน f(x) = sin(x) และ f(x) = cos(x) ที่วาดบนระนาบคาร์ทีเซียน

สำหรับมุมที่มากกว่า 2π หรือต่ำกว่า −2π เราสามารถวัดมุมได้ในวงกลม ด้วยวิธีนี้ ค่าไซน์และโคไซน์จึงเป็นฟังก์ชันเป็นคาบที่มีคาบเท่ากับ 2π:

\sin\theta = \sin\left(\theta + 2\pi k \right)
\cos\theta = \cos\left(\theta + 2\pi k \right)

เมื่อ θ เป็นมุมใดๆ และ k เป็นจำนวนเต็มใดๆ

คาบที่เป็นบวกที่เล็กที่สุดของฟังก์ชันเป็นคาบ เรียกว่า คาบปฐมฐานของฟังก์ชัน คาบปฐมฐานของไซน์, โคไซน์, ซีแคนต์ หรือโคซีแคนต์ จะเท่ากับวงกลมหนึ่งวง นั่นคือเท่ากับ 2π เรเดียน หรือ 360 องศา คาบปฐมฐานของแทนเจนต์ หรือโคแทนเจนต์ จะเท่ากับครึ่งวงกลม นั่นคือเท่ากับ π เรเดียน หรือ 180 องศา

จากข้างบนนี้ ค่าไซน์และโคไซน์ถูกนิยามจากวงกลมหนึ่งหน่วยโดยตรง แต่สี่ฟังก์ชันตรีโกณมิติที่เหลือจะถูกนิยามโดย

\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}
\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}
\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}
\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}
ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานทั้งหมด สามารถนิยามจากวงกลมหนึ่งหน่วยได้โดยใช้วงกลมหนึ่งหน่วย ที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด O
ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานทั้งหมด สามารถนิยามจากวงกลมหนึ่งหน่วยได้โดยใช้วงกลมหนึ่งหน่วย ที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด O

ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานทั้งหมด สามารถนิยามจากวงกลมหนึ่งหน่วยได้โดยใช้วงกลมหนึ่งหน่วย ที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด O (ตามรูปทางขวา) ซึ่งคล้ายกับการนิยามเชิงเรขาคณิตที่ใช้กันมาในสมัยก่อน ให้ AB เป็นคอร์ดของวงกลม ซึ่ง θ เป็นครึ่งหนึ่งของมุมที่รองรับคอร์ดนั้น จะได้

  • sin(θ) คือ ความยาว AC (ครึ่งหนึ่งของคอร์ด) นิยามนี้เริ่มใช้โดยชาวอินเดีย
  • cos(θ) คือระยะทางตามแนวนอน OC
  • versin(θ) = 1 − cos(θ) คือ ความยาว CD
  • tan(θ) คือ ความยาวของส่วน AE ของเส้นสัมผัสที่ลากผ่านจุด A จึงเป็นที่มาของคำว่าแทนเจนต์นั่นเอง (tangent = สัมผัส)
  • cot(θ) คือ ส่วนของเส้นสัมผัสที่เหลือ คือความยาว AF
  • sec(θ) = OE และ
  • csc(θ) = OF เป็นส่วนของเส้นซีแคนต์ (ตัดวงกลมที่จุดสองจุด) ซึ่งสามารถมองว่าเป็นภาพฉายของ OA ตามแนวเส้นสัมผัสที่จุด A ไปยังแกนนอนและแกนตั้ง ตามลำดับ
  • exsec(θ) = DE = sec(θ) − 1 (ส่วนของซีแคนต์ด้านนอก)

ด้วยวิธีสร้างเหล่านี้ ทำให้เห็นภาพฟังก์ชันซีแคนต์และแทนเจนต์ลู่ออก เมื่อ θ เข้าใกล้ π/2 (90 องศา) และโคซีแคนต์และโคแทนเจนต์ลู่ออก เมื่อ θ เข้าใกล้ศูนย์ (เราสามารถพิสูจน์เอกลักษณ์ตรีโกณมิติด้วยรูปภาพได้)

วงกลมหนึ่งหน่วย วงกลมหนึ่งหน่วย

 
นิยามด้วยอนุกรม

โดยการใช้เรขาคณิตและคุณสมบัติของลิมิต เราแสดงได้ว่าอนุพันธ์ของไซน์คือโคไซน์ และอนุพันธ์ของไคโซน์คือค่าลบชองไซน์ เราสามารถใช้อนุกรมเทย์เลอร์สำหรับแสดงเอกลักษณ์ต่อไปนี้สำหรับทุกจำนวนจริง x:

\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}

เอกลักษณ์เหล่านี้มักใช้เป็น นิยาม ของฟังก์ชันไซน์ และโคไซน์ ซึ่งนำไปใช้เป็นจุดเริ่มต้นแบบเข้มของฟังก์ชันตรีโกณมิติ และการประยุกต์ของมัน (เช่น อนุกรมฟูริเยร์) เพราะว่ามันมีพื้นฐานอยู่บนระบบจำนวนจริง ไม่ขึ้นกับการตีความทางเรขาคณิตใดๆ การหาอนุพันธ์ได้และความต่อเนื่องของฟังก์ชันก็มาจากนิยามนี้

เอกลักษณ์

\sin \left(x+y\right)=\sin x \cos y + \cos x \sin y
\sin \left(x-y\right)=\sin x \cos y - \cos x \sin y
\cos \left(x+y\right)=\cos x \cos y - \sin x \sin y
\cos \left(x-y\right)=\cos x \cos y + \sin x \sin y
\sin x+\sin y=2\sin \left( \frac{x+y}{2} \right) \cos \left( \frac{x-y}{2} \right)
\sin x-\sin y=2\cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \sin \left( \frac{x-y}{2} \right)
\cos x+\cos y=2\cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \cos \left( \frac{x-y}{2} \right)
\cos x-\cos y=-2\sin \left( \frac{x+y}{2} \right)\sin \left( \frac{x-y}{2} \right)
\tan x+\tan y=\frac{\sin \left( x+y\right) }{\cos x\cos y}
\tan x-\tan y=\frac{\sin \left( x-y\right) }{\cos x\cos y}
\cot x+\cot y=\frac{\sin \left( x+y\right) }{\sin x\sin y}
\cot x-\cot y=\frac{-\sin \left( x-y\right) }{\sin x\sin y}

 


  24 ก.ค. 2550 21:41 น. Admin ลบความคิดเห็นนี้ 
  สมาชิกพิเศษ
pop--atstar
คลิ๊กเพื่อดูภาพขนาดจริง
  
hhtth@thaimail.com 203.113.77.7

  

กฎโคไซน์

กฎโคไซน์ (Law of Cosines)

ภาพ:Triangle.Labels.svg

c^2=a^2+b^2-2ab\,\cos \gamma

การพิสูจน์

ลากเส้นตรง AD\, ให้ตั้งฉากกับ BC\,

สมมติให้ DC\, ยาว x\, หน่วย


จาก \cos\gamma = \frac{x}{b} ดังนั้น x=b\,\cos\gamma

โดยทฤษฎีบทของปีทากอรัส เราได้ว่า

 c^2-(a-x)^2 = b^2- x^2\,

c^2-a^2+2a x-x^2 = b^2-x^2\,

 c^2=a^2+b^2-2ax\,

\therefore c^2=a^2+b^2-2ab\,\cos\gamma

นอกจากนี้เรายังได้ความสัมพันธ์

a^2=b^2+c^2-2bc\,\cos\alpha

b^2=a^2+c^2-2ac\,\cos\beta

ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ในทำนองเดียวกัน

 

 


  24 ก.ค. 2550 21:44 น. Admin ลบความคิดเห็นนี้ 
  สมาชิกพิเศษ
pop--atstar
คลิ๊กเพื่อดูภาพขนาดจริง
  
hhtth@thaimail.com 203.113.77.7

  

อัตราส่วนตรีโกณมิติ

 




   ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
 

ความสัมพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

   1.  sin A . cosec A = 1

 2.  cos A . sec A = 1

 3.  tan A . cot A = 1

tan A + cot A

 6.  sin2 A  +  cos2 A = 1

 7.  sec2 A  -  tan2 A = 1

 8.  cosec2 A  -  cot2 A = 1
   มุม  
หน่วยองศา
1 องศา      60' (ลิปดา)
1 ลิปดา      60" (ฟิลิปดา)
หน่วยเรเดียน
เครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติตามควอแดรนต์

ฟังก์ชันของมุมรอบจุด

ข้อสังเกต
 1. ฟังก์ชัน      90o   +   A       ,         270o   +   A                   จะได้   co-function
 2. ฟังก์ชัน    180o   +   A       ,   n . 360o   +   A       ,  -A      จะได้ฟังก์ชันเดิม

  90o - A 90o + A 180o - A 180o + A 270o - A 270o + A 360o - A 360o + A - A
sin
cos
tan
cot
sec
csc
cos A
sin A
cot A
tan A
csc A
sec A
cos A
- sin A
- cot A
- tan A
- csc A
sec A
sin A
- cos A
- tan A
- cot A
- sec A
csc A
- sin A
- cos A
tan A
cot A
- sec A
- csc A
- cos A
- sin A
cot A
tan A
- csc A
- sec A
-cos A
sin A
- cot A
- tan A
csc A
- sec A
- sin A
cos A
- tan A
- cot A
sec A
- csc A
sin A
cos A
tan A
cot A
sec A
csc A
- sin A
cos A
- tan A
- cot A
sec A
- csc A

 


  24 ก.ค. 2550 21:52 น. Admin ลบความคิดเห็นนี้ 
  สมาชิกพิเศษ
pop--atstar
คลิ๊กเพื่อดูภาพขนาดจริง
  
hhtth@thaimail.com 203.113.77.7

  

เสริมประสบการณ์คณิตศาสตร์ ชุดที่ ๓๒

 

 


  24 ก.ค. 2550 21:57 น. Admin ลบความคิดเห็นนี้ 
  สมาชิกพิเศษ
pop--atstar
คลิ๊กเพื่อดูภาพขนาดจริง
  
hhtth@thaimail.com 203.113.77.7

   การนำอัตราส่วนตรีโกณมิติไปใช้ หรือโจทย์ที่ไม่ใช่สมการเลยอะน่ะ

ก่อนอื่นต้องรู้ว่า มุมก้ม มุมเงยคืออะไร
มุมก้ม = มุมที่เกิดจากการมองวุตถุที่อยู่ต่ำกว่าแนวเส้นระดับสายตา
มุมเงย = มุมที่เกิดจากการมองวัตถุที่อยู่สูงกว่าแนวเส้นระดับสายตา

โจทย์1. ชายคนหนึ่งยืนอยู่บนดาดฟ้าตึกหลังหนึ่งซึ่งสูง 45 ม. มองเห็นว่ารถยนต์คันหนึ่งจอดอยู่ระดับเดียวกับตึกที่เป้นมุมกดลง 60 องศาจาหาว่ารถยนต์อยู่ห่างจากตึกเท่าไหร่

ให้ A เป็นตำแหน่งที่ชายคนนั้นยืนมองไปยังรถ
ให้ C เป็นตำแหน่งรถ
ให้ AB เป็นความสูงของดาดฟ้า
ให้ BC เป็นระยะที่รถห่างจากตึก
ดูรูปประกอบไปด้วย รูปทำมาลวกๆ อาจจะไม่ค่อยเรียบร้อย แต่หวังว่าเพื่อนๆจะเข้าใจน่ะ

1523

 


  24 ก.ค. 2550 23:06 น. Admin ลบความคิดเห็นนี้ 
  สมาชิกพิเศษ
pop--atstar
คลิ๊กเพื่อดูภาพขนาดจริง
  
hhtth@thaimail.com 203.113.77.7

  

Ex.2

\begin{array}{l}
 \sin 20^ \circ  \sin 40^ \circ  \sin 80^ \circ   = \sin 20^ \circ  \sin 40^ \circ  \sin \left( {40^ \circ   + 40^ \circ  } \right) \\ 
  = \left( {2\sin 40^ \circ  \sin 20^ \circ  } \right)\sin 40^ \circ  \cos 40^ \circ   \\ 
  = \left( {\cos 20^ \circ   - \cos 60^ \circ  } \right)\sin 40^ \circ  \cos 40^ \circ   \\ 
  = \left( {\frac{{2\cos 40^ \circ  \cos 20^ \circ   - \cos 40^ \circ  }}{2}} \right)\sin 40^ \circ   \\ 
 \end{array}
\begin{array}{l}
  = \left( {\frac{{\cos 60^ \circ   + \cos 20^ \circ   - \cos 40^ \circ  }}{2}} \right)\sin 40^ \circ   \\ 
  = \left( {\frac{1}{4} + \sin 30^ \circ  \sin 10^ \circ  } \right)\sin 40^ \circ   \\ 
  = \frac{{\sin 40^ \circ  }}{4} + \frac{{2\sin 40^ \circ  \sin 10^ \circ  }}{4} \\ 
  = \frac{{sin40^ \circ   + \cos 30^ \circ   - \cos 50^ \circ  }}{4} = \displaystyle{\frac{{\sqrt 3 }}{8}} \\ 
 \end{array} 

 


  24 ก.ค. 2550 23:14 น. Admin ลบความคิดเห็นนี้ 
  สมาชิกพิเศษ
pop--atstar
คลิ๊กเพื่อดูภาพขนาดจริง
  
hhtth@thaimail.com 203.113.77.7

  

พิสูจน์ เอกลักษณ์ tan A-cot B/tan B-cot A = tan A*cot B


 

10388

10389

 


  24 ก.ค. 2550 23:29 น. Admin ลบความคิดเห็นนี้ 
  สมาชิกพิเศษ
pop--atstar
คลิ๊กเพื่อดูภาพขนาดจริง
  
hhtth@thaimail.com 203.113.77.7

  

มุม

ถ้าหมุนเส้นตรง AP  รอบจุด Q ไปอยู่ในแนวเส้นตรง AQ สิ่งที่เกิดขึ้นถูก

         เรียกว่า มุม

 

http://linux.kr.ac.th/ebook/pornchai/b1.htm

 

 


  24 ก.ค. 2550 23:36 น. Admin ลบความคิดเห็นนี้ 
  สมาชิกพิเศษ
pop--atstar
คลิ๊กเพื่อดูภาพขนาดจริง
  
hhtth@thaimail.com 203.113.77.7

   http://www.sci.kmitnb.ac.th/sn/Media/Math/Trigonometry/menu.files/slide0001.htm

 


  24 ก.ค. 2550 23:46 น. Admin ลบความคิดเห็นนี้ 
  สมาชิกพิเศษ
pop--atstar
คลิ๊กเพื่อดูภาพขนาดจริง
  
hhtth@thaimail.com 203.113.77.7

  

เคล็ดการจำง่ายๆ

มีวิธีมาบอก
มุมที่ควรจำ คือ 0 , 30 , 45 , 60 , 90
สามารถมาประยุกต์ใช้กับนิ้วมือได้นะ คือ
- นิ้วโป้ง เป็น มุม 0
- นิ้วชี้ ----------30
- นิ้วกลาง-------45
- นิ้วนาง---------60
- นิ้วก้อย--------90
วิธีคิด คือ
1. sin งอนิ้วที่โจทย์กำหนดให้ลง แล้วนับจำนวนนิ้วที่อยู่ด้านขวาของนิ้วนั้น ( หันฝ่ามือเข้าหาหน้าเรา ) ติดรุทไว้ ส่วน 2
- sin0 = 0
- sin30 = root1/2 = 1/2
- sin45 = root2/2
- sin60 = root3/2
- sin90 = root4/2 = 2/2 = 1
2. cos ทำเหมือน sin แต่ให้นับจำนวนนิ้วที่อยู่ด้านซ้ายติดรูทไว้ ส่วน 2
- cos0 = root4/2 = 2/2 = 1
- cos30 = root3/2
- cos45 = root2/2
- cos60 = root1/2 = 1/2
- cos90 = 0
3. tan งอนิ้วเหมือนกัน แต่ให้เอาด้านขวา/ด้านซ้าย ติดรูททั้ง เศษและส่วน
- tan0 = 0
- tan30 = root1/root3 = root3/3
- tan45 = root2/root2 = 1
- tan60 = root3/root1 = root3
- tan90 = root4/0 = หาค่าไม่ได้
4. cosec เป็นส่วนกลับของ sin
5. sec เป็นส่วนกลับของ cos
6. cot เป็นส่วนกลับของ tan

 


  15 ส.ค. 2550 20:02 น. Admin ลบความคิดเห็นนี้ 
  สมาชิกพิเศษ
pop--atstar
คลิ๊กเพื่อดูภาพขนาดจริง
  
hhtth@thaimail.com 203.113.77.9

  

จัดทำโดยม.5/3นะคราบ

 


  24 ก.ย. 2551 10:59 น. Admin ลบความคิดเห็นนี้ 
  ผู้ชมทั่วไป 55

 55 202.44.32.9:unknown

  

 

 

5555

 


  2 มี.ค. 2552 19:51 น. Admin ลบความคิดเห็นนี้ 
  ผู้ชมทั่วไป อยากรู้เรื่อง

 hitman1102@hotmail.com 124.121.235.166

  

555+จะสอบอยู่แล้วยังไม่รู้เรื่องเลยตู

 


  31 พ.ค. 2552 16:02 น. Admin ลบความคิดเห็นนี้ 
  ผู้ชมทั่วไป บิวค่า

 billjung2009@hotmail.com 124.122.197.33

  

อยากได้ตารางค่ามุมแบบ องศา เรเดียน  และก็  อื่นๆ  ทามไงคะ??????

 

 


  12 มิ.ย. 2553 10:55 น. Admin ลบความคิดเห็นนี้ 
  ผู้ชมทั่วไป discount replica watches

 409848980@qq.com 117.44.44.17

   uring the handbags sale droop of the Greek designer replica handbags civilization once besides came cheap replica handbags to the fore, camouflage renewed vitality

 


  24 มิ.ย. 2553 09:48 น. Admin ลบความคิดเห็นนี้ 
  ผู้ชมทั่วไป discount replica watches

 watches@qq.com 111.75.250.13

   lity maximize Speedmaster Professional Chronograph Moon 3570.50-370 storage fracture seeing your replica TAG Heuer Link Lady Quartz Chronograph CJF1313.FC6190-1444 apparel or colorful chief cheap omega watches items. They onus greater omega watches personify used fame a omega watches provoking. vital fling. or omega watches foyer.If you are refurbishing replica Mens 2806.52.37-489 a internal go again omega watches you dee cheap omega watches Bvlgari Bvlgari Diagono Diagono Pro Acqua Chronograph Rubber Mens SC38SVSLN-2306 |ss17

 


  22 ก.ค. 2553 11:01 น. Admin ลบความคิดเห็นนี้ 
  ผู้ชมทั่วไป watches

 123@qq.com 218.95.9.110

   Arabic symbol pass markers, owing to the 6, 9, again 12 positions, meanwhile at men's watches the 3 o’clock position, the train bottom line a minor talk fracture. Moreover, the U-boat watches juncture is indicated by sward-shaped, designer watches rhodium or gold-plated comely hands, meanwhile the Replica Watches watch heart the 1958 local load recording lie low an arrow, which displays the replica watches anguish instance. The pitch digression of the model, the probe Memovox International, also texture ORIS 635 the emblematic cities again juncture zones for its iconic ancestor. f depression doesn't carry ORIS 633 through to carry a frown your brow, whence it's juncture considering you to ostentation dior riva a alacrity more! At the Salon International de la Haute Horlogerie 2010 Cartier entrust prs516 unveil its expanded perspective called "Captive". This "Captive de Cartier" engineer will facet an Pasnew LED watch020 18 carat rhodium-plated fiery roll diamond-paved money dial having a 35mm calibre

 


  22 ก.ค. 2553 15:47 น. Admin ลบความคิดเห็นนี้ 
  ผู้ชมทั่วไป watches buy

 dsdfsdfsdf@qq.com 218.95.9.110

   n also has inherent advantages; personality type, typical of Lange.In recent years, the luxury replica watches watches can not only deliver their own distinctive elegant taste, but also bring their watch collection full self-confidence. Cartier: consumer darling of uppertendom Luxury product concept are inseparable with its new ladies watch history and user.Recalling the history of Cartier watches, which have been working with countries watch chronograph to maintain the close relationship with the royal families and celebrities, and Cartier watches prs516 have become a global fashion people dream of luxury. Rolex:classic brand image The relationship pr100x between VIP's and Rolexes go back a long way. Monarchs and Aristocrats greatly contributed prs516 to the success of pocket watches, while celebrities in various fields have unknowingly helped prc 200 to promote the wristwatch over the course of its history, first helping to make Gucci 3900 3900L Rolex popular, and now contributing to the style and

 


  23 ก.ค. 2553 09:28 น. Admin ลบความคิดเห็นนี้ 
  ผู้ชมทั่วไป replica watches

 688888@gmail.com 218.95.9.110

   ng to embroider their style, especially those angelic accessories. Therefore, bringing your male the omega watches effectual and existing double Cartier watches is a sense better. These timepieces importance put replica watch on used to break down the especial situation owing to their commonplace diary. Meanwhile, fashion watch they are tops accessories through simple chic marking Cartier watches women's thanks to totally swiss replica now the clubby rank flaunting. Maybe these Cartier imitations are not forasmuch as hot iwc big now some roses further chocolates. obtain go back that the due standing of alms oris tt3 is not measured by price. The mark is that you should perceive automatic watches Oris tt3 what your boytoy is hypothesis of. You should yes large of her avow gracefulness Hublot further charter i watch her appreciate that separate you are her Mr. true.What's juice Pasnew LED watch020 a disburse? Luxury brands understand desire been used to chancellor and compare people's taste Pasnew LED watch 022 also

 


page [1] 2 3 4   Next >>

ร่วมแสดงความคิดเห็น (กรุณาใช้คำพูดที่สุภาพ)
  โพสต์โดย
  Email
  Post ภาพ
* สมาชิกเท่านั้น
ขนาดของไฟล์ภาพไม่เกิน 100 kb. เฉพาะไฟล์ jpg, gif หรือ swf เท่านั้น
  Security code:
 กรุณากรอกรหัสที่เห็นเพื่อยืนยันการโพสต์


บริการฟรีเว็บบอร์ดจาก YimWhan.com :: copyrights © 2009-2010